专业律师认为公司应当向关某支付解除劳动合同的经济补偿金。理由是公司的行为同样属于违法解除劳动合同。理由如下：

1、公司的行为违法。《劳动合同法》第四十条规定：“有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：(一)劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的;(二)劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的;(三)劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。”其中明确表明，用人单位单方解除劳动合同，必须同时具备两个条件：一是提前三十日以书面形式通知或者额外支付劳动者一个月工资;二是具有所列三种情形之一。本案公司虽然已经额外向关某支付了一个月工资，但竞争上岗的结果，并不能说明关某不能胜任工作，更不存在经过培训或者调整岗位，仍然不能胜任。即使公司的经营状况发生了重大变化，也必须是通过与关某协商为前提，而公司却并未如此。

2、公司必须支付双倍赔偿金。《劳动合同法》第八十七条规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”而该法第四十七条第一款规定：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算;不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”正因为公司的行为属于违法解除劳动合同，决定了其必须根据关某的原有工资标准，按照4个月的时间，向关某支付双倍赔偿金。